Clasificacion por tipos de relaciones

Relación reflexiva

Una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,   . En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad

 

Relación Irreflexiva

Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

 Relación simétrica

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.
Es decir, 

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero, entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:
    



En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetría.

Relación transitiva

Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Relación Asimétrica 

Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Una relación R en conjunto es Antisimétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

  

Relación Antisimétrica

 Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:          

∀x, y, ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y)